安防之家讯：通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程的定义

窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。 图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形

二、窄带随机过程的表示方式

如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。因此窄带随机过程可用下式表示成： 式中，是窄带随机过程包络；

是窄带随机过程的随机相位。

窄带随机过程也可用下式表示 其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。

可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。反之，若已知的统计特性，怎样来求 、或、的特性呢？

三、同相分量与正交分量的统计特性

设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。

1.数学期望 已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得 即 2.自相关函数

我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为 将上式展开，并取数学期望为 其中 因为是平稳的，可以令，得 （1） 同理，令，得 （2） 如果是平稳的，则、也是平稳的。

由于式（1）和式（2）相等，则应有 可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有 可见，有 上式表示，为的奇函数，所以 同理可以证明 得到 即 这表明，和具有相同的方差。

3.概率密度函数 因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为 利用式（3.5.16），上式改写为 以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。

四、包络与相位的统计特性

现在来确定窄带平稳高斯过程的包络和相位的统计特性，随机包络和随机相位可表示为 利用概率论中随机变量变换的关系来求解和的概率密度函数，把，，和在某一时刻的随机变量用，，和来表示。根据随机变量变换关系有 其中，为，的联合概率密度函数；

为雅可比行列式，它等于 由和得 进行偏微分，并代入雅可比行列式，得 于是 因为，所以上式中包络，而在内取值。

利用概率论中的边际分布知识，可求得包络的概率密度函数为 可见，服从瑞利分布。

瑞利分布的特点：最大值发生在处，其值为。 图3.5.2 窄带高斯过程包络的概率密度函数 利用边际分布知识，可求得相位的概率密度函数为 可见，随机相位在内服从均匀分布。 所以窄带平稳高斯过程的包络和相位是统计独立的。

五、窄带随机过程的功率谱密度

结论：窄带随机过程同相分量和正交分量具有相同的功率谱密度，而且与窄带随机过程的功率谱密度具有如下关系式 式中，设的频率范围,

证明：窄带随机过程的同相分量和正交分量的提取方法如图3.5.4所示。 图3.5.4 同相分量和正交分量的提取方法 1.同相分量

对式两边乘以，得 两边都通过截止频率为的低通滤波器，于是输出为，表示为 其功率谱密度为 1.同相分量

同理，对式两边乘以，得 用功率谱密度表示为 由以上关系式，可画出功率谱密度、和如图3.5.3所示。 图3.5.3、和的功率谱密度

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